Kali ini kita akan berdiskusi—dengan Bahasa Indonesia—mengenai sebuah topik sederhana dalam teori bilangan. Topik spesifik tersebut adalah sebuah statement terkait penjumlahan sepasang bilangan bulat positif. Mungkin saking sederhananya banyak dari kita yang punya intuisi mengenai kebenaran statement ini—atau sebaliknya.
Biar lebih seru, kita jadikan ini sebuah mini game; kalian coba jawab pertanyaan terkait statement tersebut sebagai berikut.
Keterangan Simbol
$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dotsc \}$ merupakan himpunan dari seluruh bilangan bulat positif.
Berikan jawaban kalian beserta argumen (atau pembuktian) sebagai dasar jawaban tersebut. Tiga jawaban pertama akan kami post disini beserta review argumen jawaban tersebut. Jawaban dan argumen yang benar juga akan kami highlight.
Jawaban bisa disampaikan melalui email, LinkedIn messaging, atau langsung dikirimkan ke kontak admin—buat yang kenal admin. Kami tunggu sampai 10 Juli 2025 (Expired).
Lihat Pembuktian
Setelah tiga hari release, kita hanya mendapat dua respon, tetapi tanpa pembuktian maupun argumen. Tepatnya, respon tersebut berasal dari poll yang kami buat di Instagram, dan kedua respon tersebut menyatakan bahwa jawaban dari mini game ini adalah "benar". Dan hal ini memang benar, jadi selamat kepada para responden dan kami ucapkan terima kasih telah berpartisipasi.
Sekarang saatnya kita melihat pembuktian "benar" sebagai jawaban argumentatif dari mini-game di atas yang diberikan sebagai berikut.
untuk bilangan-bilangan positif $k, m, n \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $$ k + m > n \,, $$ maka $$ k > \frac{n}{2} \quad\text{atau}\quad m > \frac{n}{n} $$adalah menggunakan "pembuktian dengan kontradiksi" (proof by contradiction). Jadi pertama, kita asumsikan bahwa statement tersebut tidak benar. Maka sebagai konsekuensi dari asumsi ini, $k$ dan $m$ keduanya bernilai kurang dari $\frac{n}{2}$, atau $$ k, m \leq \frac{n}{2} \,. $$ Tetapi dengan ini kita dapatkan $$ k + m \leq \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n $$ yang jelas kontradiksi dengan syarat $k, m$ dan $n$, yaitu $k + m > n$. Hal ini berarti asumsi kita salah. Kalau asumsi kita salah—yang mana asumsi kita menyatakan bahwa statement di atas salah—maka kesimpulannya statement di atas memang benar.
Untuk pembaca yang tertarik melanjutkan topik ini, bisa lanjut scroll ke bawah karena kita akan melakukan generalisasi dari kasus ini.
Generalisasi Sampai Penjumlahan Terhingga
Statement dalam mini-game di atas sebenarnya bisa digeneralisasi hingga penjumlahan terhingga, yang diberikan sebagai berikut.
Proposisi. Diberikan bilangan-bilangan bulat positif $k_1, \dotsc, k_p, n \in \mathbb{N}$—di mana $p \in \mathbb{N}$—yang memenuhi $$ \sum_{j = 1}^p k_j > n \,, $$ maka juga akan kita dapati bahwa $$ \exists \alpha \in \{1, \dotsc, p\} \,,\; k_\alpha > \frac{n}{p} \,. $$Proposisi ini sebenarnya merupakan bentuk lebih umum (general) dari statement yang telah kita buktikan di atas. Tepatnya, statement di atas merupakan Proposisi dengan $p = 2$. Proposisi ini juga dapat dibuktikan dengan cara yang sama persis dengan pembuktian mini-game.
Lalu, pertanyaan selanjutnya; apakah Proposisi di atas dapat digeneralisasi lagi hingga penjumlahan tak terhingga?—Jawaban untuk ini, mungkin, untuk cerita di lain hari...